Жданов О.Н., Чалкин В.А. Эллиптические кривые:
Основы теории и криптографические приложения. № 7. Изд. стереотип.

Оглавление

Предисловие

В настоящее время значение методов и средств защиты информации возрастает. Это во многом связано с расширением электронного документооборота. Все большее распространение получает электронная подпись, применение которой регламентируется законом и подзаконными актами, а также служебными инструкциями. Для повышения надежности систем аутентификации, систем подписи применяются самые современные методы алгебры и алгебраической геометрии. Так, действующий стандарт электронной подписи России основан на теории эллиптических кривых.

Теория эллиптических кривых является частью теории плоских алгебраических кривых – одного из важнейших разделов алгебраической геометрии. Имеются тесные связи теории эллиптических кривых с теорией эллиптических функций и с диофантовым анализом. Начало этой теории было положено трудами древнегреческого математика Диофанта, а в дальнейшем ее развитии приняли участие многие выдающиеся математики прошлого. Структуру группы на эллиптических кривых определил знаменитый математик Анри Пуанкаре.

Долгое время теория эллиптических кривых являлась областью чистой математики. Однако в 1980-х гг. были найдены приложения этой теории к построению алгоритмов факторизации больших чисел. И далее теория эллиптических кривых нашла применение как в классической криптографии (для генерации псевдослучайных последовательностей), так и в построении криптосистем с открытым ключом, в разработке протоколов распределения ключей и протоколов цифровой подписи.

Идея создания эллиптической криптографии была выдвинута в 1985 г. независимо В. Миллером и Н. Коблицем. Интерес к эллиптическим кривым в криптографии обусловлен тем, что они являются богатым источником конечных абелевых групп, обладающих полезными структурными свойствами, а также тем, что на их основе обеспечиваются те же криптографические свойства, которыми обладают числовые или полиномиальные криптосистемы, но при существенно меньшем размере ключа.

Во многих отношениях эллиптические кривые – естественный аналог мультипликативных групп полей, но более удобный, так как существует б\'oльшая свобода в выборе эллиптической кривой, чем в выборе конечного поля.

На сегодняшний день имеется довольно много учебной литературы, посвященной эллиптическим кривым и их применению в криптографии. Однако это либо руководства рецептурного типа, не затрагивающие основ теории, либо, напротив, глубокие теоретические работы, малопонятные инженеру без мощной математической подготовки.

Данное учебное пособие восполняет этот пробел в литературе. Авторы попытались приблизить сложные, абстрактные элементы теории к пользователю и показать практическое применение абстрактных конструкций в реальной работе по защите информации.

Учебное пособие предназначено для студентов, обучающихся по специальностям:

090301 – компьютерная безопасность,

090302 – информационная безопасность телекоммуникационных систем,

090303 – информационная безопасность автоматизированных систем,

090305 – информационно-аналитические системы безопасности,

090915 – безопасность информационных технологий в правоохранительной сфере,

510213 – математические методы и программное обеспечение защиты информации,

751100 – защита информационных технологий,

750200 – обеспечение защиты информации в автоматизированных системах военного назначения,

а также для обучающихся в бакалавриате и магистратуре по специальности 090900 – информационная безопасность.

Как представляется авторам, пособие может быть полезным и для студентов и аспирантов математических специальностей, имеющих цель быстро войти в круг вопросов теории эллиптических кривых и познакомиться с приложениями данной теории.

Пособие состоит из трех глав.

В первой главе обсуждаются основные свойства эллиптических кривых и абелевы группы точек на этих кривых.

Вторая глава посвящена построению криптографических систем с открытым ключом, использующих конечную абелеву группу точек эллиптической кривой.

В третьей главе рассматривается практическая реализация криптографических алгоритмов на эллиптических кривых.

Теоретический материал иллюстрируется примерами.

Упражнения для самопроверки позволяют читателю оценить свой уровень понимания изученного материала. Приведены типовые, стандартные задания (в 30 вариантах) на сложение точек, умножение точки на число, зашифрование и расшифрование, генерацию и проверку электронной цифровой подписи.

В приложении приводятся выдержки из действующего стандарта электронной подписи РФ.

Для более глубокого изучения тематики предназначена литература, составляющая библиографический список.

Настоящее учебное пособие явилось результатом обобщения опыта чтения лекций и проведения практических и лабораторных работ авторами в Сибирском государственном аэрокосмическом унивеситете (СибГАУ) в течение 2000–2011 годов.

Для понимания содержания пособия необходимо владеть основными понятиями математического анализа и элементами теории чисел (сравнения по простому модулю, малая теорема Ферма) и начальными сведениями из теории групп.

Авторы считают приятным долгом выразить благодарность Т. Е. Ильющенко, Е. В. Федоровой, Н. В. Кожевиной за помощь в подготовке рукописи.

Об авторах

Жданов Олег Николаевич

Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры безопасности информационных технологий Сибирского государственного аэрокосмического университета (г. Красноярск). В 1986 г. окончил математический факультет Красноярского государственного университета. В 1994 г. защитил кандидатскую диссертацию по специальности «Математический анализ». В 2003 г. прошел повышение квалификации по направлению «Криптографические методы защиты информации» в Институте криптографии, связи и информатики Академии ФСБ России. Один из организаторов международной конференции «Актуальные проблемы безопасности информационных технологий» и руководитель секции «Криптографические методы защиты информации» этой конференции в 2006–2012 гг. Читает лекционные курсы «Криптографические методы защиты информации», «Теоретико-числовые алгоритмы в криптографии» и «Теория массового обслуживания».

Сферы научных интересов: многомерный комплексный анализ; системы дифференциальных уравнений в частных производных, являющиеся моделями процессов в механике сплошных сред; защита информации. Автор 60 публикаций, в том числе 5 учебных пособий, написанных в соавторстве с учениками. Награжден нагрудным знаком «За развитие научно-исследовательской работы студентов» Министерства образования и науки РФ.

Чалкин Вениамин Александрович

В 2009 г. окончил с отличием Сибирский государственный аэрокосмический университет с присвоением квалификации «специалист по защите информации». В настоящее время аспирант СибГАУ. Автор 15 научных публикаций. Победитель конкурса на лучшую научную студенческую работу России по естественным, техническим и гуманитарным наукам (2010), лауреат стипендии Правительства России. Совместно с О. Н. Ждановым разработал программный комплекс, реализующий выбор ключевой информации для шифрования данных по действующему стандарту России.