Пухначев Ю.В., Попов Ю.П. МАТЕМАТИКА БЕЗ ФОРМУЛ.
Книга ПЕРВАЯ: Множества, отображения, последовательности, ряды, функции, дифференциальное и интегральное исчисление, функции многих переменных. Кн.1. Изд. 7, доп.

Оглавление

Вместо введения – диалог авторов

– Математика без формул? Не перехватили ли мы? Ведь это что-то вроде географии без карт или оперы без музыки!

– Что ж, опера без музыки в самом деле ничто. А что касается карт... Разве в них соль географии? Когда ты смотришь видовой фильм, слушаешь бывалого путешественника или путешествуешь сам – разве ты не пополняешь свои географические познания? К тому же все это гораздо глубже воспринимается и гораздо интереснее, чем карты. Хотя, конечно, те подают информацию в предельно отчетливом, концентрированном виде. Так же и формулы. При всей их четкости и емкости – не в них душа математики.

– Ну-ка, ну-ка, в чем же она, эта загадочная душа математики?

– Не знаю, убедят ли тебя мои собственные слова – как говорится, нет пророка в отечестве своем. Поэтому позволь спрятаться за авторитеты. "В математических работах... главное – содержание, идеи, понятия, а затем для их выражения у математиков существует свой язык – это формулы". Заметь: первично – содержание, идеи, понятия, а форма, формулы – вторично.

– Кто это сказал?

– Софья Ковалевская.

– Ну хорошо. Формулы – не душа математики. Но все-таки язык! Родной язык! Тебе приходилось когда-нибудь читать японские стихи?

– В переводе.

Вот-вот! В переводе, где короткие слова оригинала приходится заменять многосложными. И – улетучилось своеобразное очарование японской поэзии! Ощутить его можно, лишь изучив японский язык и читая стихи в подлиннике.

– Да, но все мы живем в условиях постоянного цейтнота. Прежде чем начинать какое-то дело, нужно знать ради чего оно предпринимается, видеть конечную цель. Я возьмусь за изучение японского языка лишь после того, как мне расскажут о неповторимых прелестях японской поэзии на моем родном языке. Но если вместо этого мне дадут свиток с иероглифами... Математические формулы для непосвященного – те же иероглифы. Да и доказательства для него не понятнее иероглифов. Этот жаргон, эти бесконечные "если... то... для любого... существует... вообще говоря... по крайней мере...".

– Ну уж тут позволь с тобой не согласиться. Есть хороший анекдот на эту тему – не возражаешь?

– Давай.

– Рихард Дедекинд, как ты знаешь, умер глубоким стариком, через много лет после того, как написал свои классические труды. А о классиках принято думать, что жили они в давно прошедшие времена. Короче говоря, где-то в начале нашего века Дедекинд раскрыл какой-то календарь и прочел там: "Рихард Дедекинд. Умер в Брауншвейге 4 сентября 1899 года". Дедекинд написал тогда издателю календаря: "Глубокоуважаемый коллега!.. Позвольте обратить Ваше внимание на то, что в дате моей смерти неверен по крайней мере год". Так и чувствуется рука математика! А в этом самом "по крайней мере" заключено все остроумие ответа. Так что строгость и занимательность – вещи вполне совместимые, можешь меня не разубеждать!

– Не приведи господи! Ведь именно об этом я тебе и толкую! Анекдоты и приметы, пословицы и детские считалки, картины великих художников и отрывки из классических произведений, факты истории и нашей повседневной жизни – вот где нужно искать иллюстрации к математическим понятиям! И они не могут не найтись. Разве древо математики поднялось бы до таких высот, если бы не уходило корнями в глубины общечеловеческой практики?

– И в таком духе ты намереваешься изложить всю математику, и притом совершенно строго?

– Зачем всю? И зачем совершенно строго? Наша книга не должна быть учебником. Важны основные идеи и понятия. И если читатель войдет во вкус, – он потом возьмется и за учебники, за формулы и строгие доказательства. "Подобно тому, как рою бесчисленных пчел, поражающему наперебой своими жалами, не удается отогнать упивающегося медведя, если он хоть немного вкусил приятность скрытого в дереве меда, так нет, разумеется, никого, кто, хоть краем губ постигнув сладость математических доказательств (какая бы масса величайших трудностей ни отталкивала его, точно частыми уколами жал), не стремился бы всеми силами освоить их вполне, до полного насыщения". Это сказал Бонавентура Кавальери в своем трактате "Геометрия".

– Ну и что же за книга у нас получится? Если не учебник, то что? Что-то вроде "Кабаре математики" Графа? "Математической смеси" Литтлвуда? Развлекательное чтиво?

– Не учебник и не чтиво. Я попытался бы определить ее дух иносказательно. Представь себе поток, на одном берегу которого стоит жаждущий, но не сведущий, а на другом раскинулись райские сады математики. Книги о математике – словно камни в потоке, по которым можно переправиться на ту сторону. К берегу незнания примыкает россыпь анекдотов. У другого берега теснятся глыбы учебников. А в промежутке – не так уж много для уверенной переправы. Трехтомник "Математика, ее содержание, методы и значение" А.Д.Александрова, А.Н.Колмогорова, М.А.Лаврентьева и других. "Что такое математика?" Р.Куранта и Г.Роббинса. "Что такое математика?" Л.Геффтера. "Прелюдия к математике" и "Путь в современную математику" У.У.Сойера... Где-то здесь мы и должны положить свой камешек.

– Книгу полусерьезную-полушутливую, как я понял. Этакий гибрид теоремы и побасенки. А форма книги?

– Есть стиль, на мой взгляд, отлично соответствующий ее содержанию. Фрагменты, связанные друг с другом не словесными переходами, но одною лишь логикой предмета.

– Догадываюсь: "Опыты" Монтеня, "Записки у изголовья" Сэй-Сенагон...

– Высокие примеры! В вольном разбеге пера одна за другой появляются зарисовки лаконичные и в то же время детальные, поэтичные и в то же время глубокомысленные, часто проникнутые усмешкой... Вот бы и нам показать в таких картинах важнейшие области математики!

– Итак, нечто вроде путеводителя по математике?

– А почему бы и нет? Когда ты едешь в незнакомый тебе город и предвкушаешь его красоты, ты берешься не за фолианты по его архитектуре. В таких томах ты рискуешь споткнуться о фразы типа: "Рустованный периптер фланкируется лучковыми сандриками". От такого чтения первое свидание с городом наверняка будет испорчено. А интересный путеводитель, хороший гид расскажут тебе то же самое понятным тебе языком, да еще приведут старинную легенду или отрывок из поэмы, навеянной образом этого города. И если все услышанное тобою заронит в твою душу чувство любви к замечательному городу, это заставит тебя взяться потом и за серьезные книги о нем, перечитать все те скучные фолианты, которые иначе только отвратили бы тебя от него.

– Решено. Так в путь же – и пригласим с собою читателя!

Об авторах

Пухначев Юрий Васильевич

Кандидат физико-математических наук, доцент (1979), заведующий отделом журнала «Наука и жизнь» (1970–1989), научный консультант журнала «Наука и жизнь» (с 1989 г.), член Союза журналистов (с 1974 г.). Неоднократно награждался дипломами общества «Знание» (1978, 1980, 1988). Основатель и первый президент Ассоциации колокольного искусства России (1989), заслуженный работник культуры Российской Федерации (2003). Автор книг «Загадки звучащего металла» (М.: URSS), «Математика без формул» (М.: URSS; совм. с Ю. П. Поповым), «Семь семинаров по математическому анализу» (М.: URSS). С 1988 г. вел на телеканале «Российские университеты» циклы телепередач «Диалог с компьютером», «Терминал», «Открытый мир», «Рубежи будущего».

Попов Юрий Петрович

Член-корреспондент РАН (1997). Профессор факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ имени М. В. Ломоносова, а также профессор Московского физико-технического института. Окончил с отличием аэромеханический факультет МФТИ в 1964 г. После окончания аспирантуры пришел на работу в Институт прикладной математики АН СССР (ныне ИПМ им. М. В. Келдыша Российской академии наук). В 1971 г. защитил кандидатскую диссертацию, в 1979 г. — докторскую; с 1981 г. — профессор. В 1975 г. Ю. П. Попов становится ученым секретарем Института, в 1980 г. — заместителем директора, в 1999 г. — директором ИПМ им. М. В. Келдыша РАН; с 2008 г. — советник РАН. Лауреат Государственной премии СССР, премии Совета Министров СССР. Автор свыше 250 научных работ, в основном в области разработки математических моделей и эффективных вычислительных алгоритмов, а также их применения в магнитной и газовой динамике, гравитационной газодинамике и астрофизике, управляемом термоядерном синтезе и др.