Осташков В.Н. Диалоги о фракталах:
От Кантора до Мандельброта. Изд. 3, испр.

Фракталы (фрагменты из книги)

Оглавление

Предисловие

В этих диалогах изучаются модельные фракталы, которые обыкновенно используются инженерами при исследовании природных и технических систем. Книга основана на материалах научного семинара, который проводился еженедельно с 2000 года в Тюменском государственном нефтегазовом университете. Я благодарен участникам семинара за горячие обсуждения идей и методов фрактальной геометрии, и, прежде всего, доктору физико-математических наук Ю. В. Пахарукову, вдохновившему меня на изучение фрактальной геометрии и особенно ее приложений, а также доктору геолого-минералогических наук Р. М. Бембелю, кандидату геолого-минералогических наук А. В. Мальшакову.

Книга обладает рядом особенностей. Во-первых, изложение ведется в форме беседы трех персонажей, что, по мнению автора, позволяет сказать просто о сложном, популярно о научном, ясно о туманном. Во-вторых, весь материал разбит на девять глав: с главы 9 (сентябрь) по главу 5 (май) (поскольку учебный год начинается с сентября). В-третьих, текст сопровождается изображением многочисленных (и, как правило, оригинальных) фракталов.

Бесчисленные приложения фракталов обсуждаются в фундаментальной книге [23], а также в [2–5, 10, 15, 17, 25–27, 34, 35] и др. Широкий класс модельных фракталов порождает система итерированных функций, сущность которой заключается в бесконечном повторении преобразований определенного класса. В большинстве изданий, включая интернет-ресурсы, разнообразие видов этих преобразований ограничивается линейными преобразованиями соответствующих пространств: подобиями, аффинными преобразованиями, изредка коллинеациями. В данной книге подробно рассматриваются фракталы, являющиеся аттракторами системы итерированных коллинеаций, а главное, аттракторы квадратичных кремоновых преобразований проективной плоскости с изложением теории.

В [11] рассмотрены фигуры, инвариантные относительно инверсий. Диковинное квадратичное преобразование (с тремя совпавшими фундаментальными точками) используется в [30] для построения аттрактора Хенона. Изучение квадратичных преобразований плоскости сопряжено с трудностями, которые обусловлены наличием шести проективных инвариантов (модулей); слабым утешением здесь является понимание того, что шестимерное многообразие модулей рационально [16].

Как сказал Г. Вейль, мир не есть хаос, он есть космос, гармонически упорядоченный посредством нерушимых законов математики. Трудно не согласиться с мнением В. С. Секованова [24, с. 89] о том, что красота фракталов не позволяет нам остаться равнодушными к исследуемой теме. В предисловии к книге Джона Милнора [14] говорится: «Наглядность получаемых изображений ни в коей мере не заменит красоту и строгость соответствующей им математической теории, имеющей богатую и драматическую историю».

Выражаю благодарность д-ру техн. наук В. С. Ивановой, д-ру физ.-мат. наук Г. В. Встовскому, д-ру физ.-мат. наук А. А. Потапову, д-ру пед. наук В. С. Секованову, д-ру пед. наук Е. И. Смирнову, д-ру техн. наук А. А. Шанявскому за обсуждения проблем фрактальной геометрии, а также д-ру пед. наук В. В. Афа-насьеву, д-ру физ.-мат. наук А. С. Тихомирову, д-ру пед. наук А. В. Ястребову, многолетнее общение с которыми сказалось самым благотворным образом на написании этой книги.

Огромное влияние на формирование моей геометрической интуиции оказал мой учитель д-р физ.-мат. наук Залман Алтерович Скопец, исключительно тонко понимавший и глубоко чтивший квадратичные преобразования плоскости. Особую признательность выражаю д-ру физ.-мат. наук Максу Айзиковичу Акивису, существенно повлиявшему на мое геометрическое будущее. Большое спасибо канд. физ.-мат. наук А. Г. Липчинскому, некогда рискнувшему выписать мне, тогда еще студенту, путевку в науку. Спасибо моему брату Николаю за экскурсии по аллеям теории механизмов и машин, а также Ирине Леонтьевой за сюжетные идеи для книги.

Об авторе

Осташков Владимир Николаевич

Кандидат физико-математических наук, автор 95 научных и научно-методических работ по математике, фрактальной геометрии, дидактике математики, в том числе 12 монографий и учебных пособий. Представитель ярославской школы многомерной проективной геометрии (научный руководитель — профессор З. А. Скопец); в кандидатской диссертации «Геометрия многообразия корреляций проективной плоскости» решил проблему классификации квадратичных кремоновых преобразований проективной плоскости (в терминах восьмимерной геометрии).