Башмакова И.Г. Диофант и диофантовы уравнения № 107. Изд. 3, испр. и доп.

Содержание

Предисловие

В наши дни каждый, кто занимался математикой как профессионал или как любитель, слышал о диофантовых уравнениях и даже о диофантовом анализе. За последние 15–20 лет эта область сделалась "модной" благодаря своей близости к алгебраической геометрии – властительнице дум современных математиков. Между тем, о том, кто дал имя неопределенному анализу, о самом Диофанте, одном из наиболее интересных ученых античности, почти ничего не написано. О его работах даже историки науки имеют самое превратное представление. Большинство из них считает, что Диофант занимался решением отдельных задач, равносильных неопределенным уравнениям, применяя для этого хитроумные, но частные методы. Подробнее об этих оценках Диофанта мы скажем в § 4.

Между тем простой разбор задач Диофанта показывает, что он не только поставил проблему решения неопределенных уравнений в рациональных числах, но и дал некоторые общие методы их решения. Надо при этом иметь в виду, что в античной математике общие методы никогда не излагались "в чистом виде", отдельно от решаемых задач. Так, например, поступал Архимед: определяя площади эллипса, сегмента параболы, поверхности шара, объемы шара и других тел, он применял метод интегральных сумм и метод предельного перехода, однако нигде не дал общего абстрактного описания этих методов. Ученым XVI–XVII вв. приходилось тщательно изучать и перелагать по-новому его сочинения, чтобы выделить оттуда методы Архимеда. Аналогично обстоит дело и с Диофантом. Его методы были поняты и применены для решения новых задач Виетом и Ферма, т.е. в то же время, когда был разгадан и Архимед. В своих исследованиях мы пойдем вслед за Виетом и Ферма, т.е. будем анализировать решение конкретных задач, чтобы понять примененные там общие методы.

Заметим еще, что если история интеграционных методов Архимеда в основном завершается созданием интегрального и дифференциального исчисления Ньютоном и Лейбницем, то история методов Диофанта растягивается еще на несколько сотен лет, переплетаясь с развитием теории алгебраических функций и алгебраической геометрии. Развитие идей Диофанта можно проследить вплоть до работ Анри Пуанкаре и Андре Вейля. Поэтому-то история диофантова анализа особенно интересна.

Настоящая книга будет посвящена в основном методам Диофанта для решения неопределенных уравнений второго и третьего порядка в рациональных числах и их истории. Попутно мы рассмотрим вопрос и о числовой системе, которую применял Диофант, и о его буквенной символике. В этом гораздо более простом вопросе также до сих пор нет ясности: большинство историков науки считает, что Диофант ограничивался областью положительных рациональных чисел и не знал отрицательных чисел. Мы постараемся показать, что это не так, что именно в "Арифметике" Диофанта область чисел была расширена до поля рациональных чисел Q.

Я надеюсь, что эта книга познакомит читателя с новой стороной античной математики. Ведь большинство из нас составляет о ней впечатление по "Началам" Евклида, сочинениям Архимеда и Аполлония. Диофант открывает нам мир арифметики и алгебры, не менее богатый и красочный.

Разумеется, мы не сможем рассказать здесь о всем творчестве Диофанта, еще того менее, – о всем диофантовом анализе и его истории. Как мы уже говорили, мы будем следить в основном за той областью, которая получила название арифметики алгебраических кривых и которая состоит в нахождении рациональных точек алгебраической кривой (или рациональных решений одного алгебраического уравнения от двух переменных) и в изучении структуры этого множества. Поэтому читатель не найдет здесь истории проблемы решения неопределенных уравнений в целых числах, которой занимались Ферма, Эйлер, Лагранж, Лежандр и которой продолжают заниматься и теперь. Мы не будем также касаться трудного и тонкого вопроса о существовании рационального (или целого) решения у неопределенного уравнения с целыми рациональными коэффициентами, поскольку этот вопрос выходит за пределы круга проблем, непосредственно идущих от Диофанта. Наконец, мы не будем касаться и истории десятой проблемы Гильберта, в которой требуется найти общий метод (или доказать, что такового не существует), "следуя которому можно было бы в конечное число шагов узнать, имеет данное уравнение решение в целых рациональных числах или нет". Настоящая книга рассчитана на широкий круг читателей: ее смогут прочесть преподаватели математики высших учебных заведений и школ, студенты физико-математических факультетов университетов и пединститутов, инженеры и школьники старших классов специализированных школ (с математическим уклоном). Строго говоря, для понимания книги достаточно знания аналитической геометрии и элементов дифференциального и интегрального исчисления, поэтому школьникам не все разделы будут доступны в равной степени. Чтобы облегчить пользование книгой, мы даем здесь "указатель", в котором расскажем, как книга построена и какие параграфы можно опустить без ущерба для понимания целого. В § 1 рассказывается о самом Диофанте, в § 2 – о системе чисел и символов, которые он вводит, в § 3 приводятся сведения из диофантовых уравнений и алгебраической геометрии, необходимые для понимания дальнейшего. Следующий, § 4, посвящен оценкам методов Диофанта историками математики. В § 5 и § 6 излагаются задачи Диофанта и исследуется, какими методами он решал неопределенные уравнения второго и третьего порядков. Здесь же рассказывается об однородных или проективных координатах. В § 7 приводятся некоторые задачи Диофанта, которые потребовали теоретико-числового исследования. Эти задачи позволяют судить об объеме знаний античных математиков по теории чисел. Все дальнейшее, т.е. §§ 8–13, посвящено истории методов Диофанта от исследований Виета и Ферма до двадцатых годов нынешнего века. В § 10 рассказывается о теореме сложения эллиптических интегралов Эйлера и о ее применении для отыскания рациональных точек кривой третьего порядка у Якоби. Чтобы понять этот параграф, читатель должен быть знаком с понятием несобственного интеграла. Это место школьники могут пропустить. Чтение § 11 они тогда должны начинать со слов "Теперь мы можем придать операции сложения точек...". В §§ 12–13, где говорится о работах А.Пуанкаре и некоторых последующих результатах, многие вопросы изложены схематично, другие, требующие введения новых сложных понятий, опущены. Все же я надеюсь, что читатель получит некоторое представление о творчестве Диофанта и об истории арифметики алгебраических кривых, а может быть, и заинтересуется этой прекрасной областью математики.

В заключение я приношу глубокую благодарность А.И.Лапину и И.Р.Шафаревичу, которым я обязана многими ценными замечаниями и указаниями.

Многие усовершенствования и поправки были внесены в рукопись редактором Н.Н.Гендрихсоном, которому я также приношу глубокую благодарность.

В конце книги помещен список наиболее доступных изданий "Арифметики" Диофанта и сочинений о ней.

Об авторе

Башмакова Изабелла Григорьевна

Известный отечественный математик и историк науки. Родилась в Pостове-на-Дону. В 1944 г. окончила механико-математический факультет Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова. Работала под руководством известных математиков и историков науки С. А. Яновской и А. П. Юшкевича. Доктор физико-математических наук (1962). С 1967 г. профессор кафедры теории вероятностей мехмата МГУ. Член-корреспондент (1966) и действительный член (1971) Международной академии истории науки. Член Московского математического общества.

В область научных интересов И. Г. Башмаковой входила история античной математики и теории алгебраических чисел. Ее кандидатская диссертация была посвящена истории теории делимости, а совокупность работ по истории древнегреческой математики стала основой докторской диссертации. И. Г. Башмакова с 1948 г. читала курс лекций по истории математики студентам мехмата МГУ и в течение многих лет являлась одним из руководителей ведущего в стране научно-исследовательского семинара по истории и методологии математики и механики. В области античной математики, которой была посвящена ее основная деятельность, И. Г. Башмакова являлась главой целого направления и давала новые, оригинальные интерпретации известных положений. Ее работы были переведены на многие иностранные языки. И. Г. Башмакова — единственный в России лауреат премии им. А. Койре Международной академии истории науки.