Орлов П.М. Об аксиомах геометрии вообще, аксиоме Н.И.Лобачевского и V постулате Евклида

Оглавление

Из главы 1. О прямых линиях

1. О прямых линиях

В XIX.была закончена критика Начал Евклида и выработана новая аксиоматика геометрии предложенная Д.Гильбертом. Осбенной критике подверглись определения Евклида, потому что он ими не пользовался. Всё это правильно, но одно определение заслуживало внимание, чтобы его отавить. Вот оно: границы линии суть точки. Оно означает, что прямая лния должна быть обозначена точкой в начале и точкой в конце. Это опрделение имеет очень важное логическое значение. Если линия не будет обозначена хотя бы с одного конца, то такую линию нельзя измерить. Знчит, эта линия не подходит для геометрии, которая занимается строгим и определённым измерением. Где же можно применить названное опредление Евклида? Для применения этого определения есть только две задчи, где без него их нельзя решить. Вот одна из них.

К вертикальной прямой линии АВ в разных еёточках С и Е воставтедва горизонтальных перпендикуляра, которые не будут пересекаться, чму есть доказательство. И пусть они будут лучами, т.е.они не будут иметь концевой точки, и будут направлены в одну сторону. Но они имеют нчальные точки. У одного точка С, у другго точка Е.Это будет означать, что эти лучи могут продолжаться неограниченно. В чём заключается эта неораниченность?Если выбрать любую точку Т этого луча, то всегда найдутся две другие точки. Одна точка К будет впереди точки Т, а другя точка М будет сзади точки Т.Один из этих перпендикуляров нужно повернуть относительно начальной точки в сторону другого перпендикляра с целью их взаимного пересечения. Пусть это будет перпендкуляр с началом в точке С.Теперь надо будет определить началную точку их пересечения. В современной геометрии нет ни аксиом, ни теорем для нахождения этой начальной токи пересечения. Задачу нельзя решить и вот почему. Допустим, что у нклонённого луча точка Т оказалась первой на другом (неподвижном) луче, т.е. она стала первойобщей точкой двух лучей. Тогда возникает впрос: где будет находиться точка К наклонённого луча?

Если точка К, бегущая впереди точки Т, окажется на другой стороне неподвижного луча, то именно она уже была первой общей точкой двух лучей, а не точка Т. Следовательно, наше предположение о точке Т, как первой общей точки двух лучей, оказалось ошибочным. Если рассмотреть точку К, то у неё тоже найдётся точка, которая будет впереди её, и точка сзади её. Тогда точка К тоже не сможет быть первой точкой. Итак, в этом варианте нельзя укзать начальную точку пересечения.Точка К не может находиться на неподвижном луче вместе с точкой Т, так как две прямые могут иметь только одну общую точку.

Рассмотрим вариант, когда точка Т уже достигла неподвижноголуча, а точка К не достигла его. Тогда все точки подвижного луча, кроме точки Т, находятся с одной стороны от неподвижного луча. Если подвижной луч повернуть дальше, то он пересечётсяс неподвижным лучём в двух токах (одна сзади точки Т, другая спереди), что не допускается. Этот вариант тоже не проходит.Итак, два луча, которые не имеют ограничения даже с одной сторны, не могут войти в пересечение. Задачу на пересечение двух неогранченных прямых никто никогда не решал. Но всегда легко принималось решение, что одна прямая пересекает другую. Однако для такого утвеждения нужно иметь строгое решение здачи на пересечение: при каких условиях две прямые могут пересекаться? Например, с отрезками прмых задача может быть решена довольно просто. Каждый отрезок имеет начало и конец, имеет свою величину и направление, имеет точное раположение на плоскости. Всего этого нельзя сказать о прямой линии, т.е. она никак не определена на плоскости, и её нельзя измерить, так как она не имеет концевых точек. Далеко не всякие два отрезка пересекаются, даже если они очень длинные.По логике современной геометрии наклонённый луч будет асимпттически приближаться к другому лучу и никогда его не пересечёт. Это пхоже на асимптоты гиперболы.Вот почему геометрия Н.И.Лобачевского является гиперболической.

Отметим ещё один момент. По аксиомам геометрии наклоняемый луч можно поворачивать на любой угол. Но как он может повернуться на любой угол, если он не может пересечь другой луч? Отсюда видно, что пренебрегать определением Евклида нельзя! Ну не решал Евклид задач на пересечение. Так современные Геометры тоже не решают этих задач.

Вторая задача заключается вот в чём. Допустим, что в предыдущей задаче лучи пересеклись. Теперь надо их развести, чтобы они не перескались. В этом случае надо указать последнюю точку пересечения, после которой лучи разойдутся. Эту точку тоже нельзя указать, так как в геомерии для этого нет ни аксиом, ни теорем.Итак, трудности возникли изНза того, что для обозначения прмой не используют концевые точки. Вот мнение Архимеда:

Из всех линий, имеющих общие концы, прямая есть кратчайшая.

Он понимал прямую линию только между двух точек, т.е. между нчальной и конечной.

Теперь об аксиоме Н.И.Лобачевского. Вот она:

Существует такая прямая "а" и точка А, не лежащая на ней, что через точку А проходит не менее двух прямых, не пересекающих прямую "а" и лежащих с ней в одной плоскости.

Речь идёт о непересекающихся прямых, а не о параллельных прямых.

Лобачевский совершил героический поступок! Заключается он в слдующем. Выше я привёл задачу о двух перпендикулярах, один из которых потом наклонил для пересечения с другим. Но потом оказалось, что в этом случае лучи не пересекутся. Вот примерно то же самое о непересчении горизонтальной прямой и двух наклонныхпрямых, проходящих чрез одну точку А, говорит и Лобачевский. Только я это предложил в задче, а Лобачевскийв аксиоме. Если бы Лобачевский предложил мою здачу, то против него никто не возразил бы. Задача есть задача. Но он предложил эту идею в аксиому, т.е. в Закон. С Законом шутки плохи. Хотя идея Лобачевского абсолютно правильная. Ведь никто не смог опровернуть идею Лобачевского, так как в геометрии его времени и в геметрии нашего времени нет средств для опровержения этой идеи. Далее будет возможность показать аксиому Лобачевского. Итак, трудности возникли только из-за того, что пренебрегают обозначнием прямой линии двумя точками. Повторимся ещё раз: геометрия есть наука об измерениях.А измерить можно только то, что имеет строгие границы. "Нельзя объять необъятное". Прямая может бытьгигантских размеров, но должна иметь начало и конец.Если принять эти правила, то придётся пересмотреть формулировку некоторых аксиом. Прямая линия должна проходить от точки до точки, и не выходить за концевые точки. В некоторых аксиомах прямая проходит через концевые точки, что является нарушением логического построения основ геометрии. Можно ввести аксиому – каждая прямая имеет начало и конец...

Об авторе

По профессии – военный, майор в отставке. В 1963 г. окончил Военную инженерную академию им.Ф.Э.Дзержинского (ныне Военная академия РВСН им.Петра Великого) с хорошей математической подготовкой. Теорию чисел осваивал самостоятельно в свободное от службы время. Автор книг "Великая теорема Ферма: Арифметическое решение" (М.: URSS, 2009), "Новые методики решения задач о числах: Закон распределения простых и составных чисел. Представление четных чисел суммой и разностью двух простых чисел (доказательство)" (М.: URSS, 2011) и "Новые методики в арифметике целых чисел" (М.: URSS, 2012).