Кляцкин В.И. Очерки по динамике стохастических систем

Оглавление

Предисловие

Статистические задачи занимают значительное место в различных областях физики. Помимо задач, традиционно относящихся к статистической физике, имеется множество вопросов, в которых мы сталкиваемся с необходимостью учета флуктуационных эффектов. Хотя причины, вызывающие флуктуации, совершенно различны в различных задачах (это могут быть тепловые шумы, неустойчивости, турбулентность и т.д.), методы их теоретического рассмотрения часто очень схожи. При этом в ряде случаев статистическую природу самих флуктуаций можно считать известной (либо из физических соображений, либо из модельной постановки задачи), а сами физические процессы можно описывать как обыкновенными дифференциальными уравнениями, так и уравнениями в частных производных, интегро-дифференциальными и интегральными уравнениями. Основная задача заключается в получении замкнутых уравнений для статистических характеристик таких систем и исследовании их решений с максимально возможной полнотой.

Отметим, что волновые задачи зачастую являются краевыми задачами. В этих случаях, используя метод погружения, можно переформулировать их в задачи с начальными условиями, что существенно упрощает анализ статистических проблем.

Цель настоящей книги – показать, как различные физические задачи, описываемые стохастическими уравнениями, могут быть решены на основе общего подхода. При этом выясняются интересные аналогии между весьма различными физическими задачами.

В стохастических задачах с флуктуирующими параметрами переменными являются функции. Поэтому естественно для их анализа использовать функциональные методы. Мы будем использовать функциональный метод, впервые предложенный в работе Е.А.Новикова для гауссовых флуктуаций параметров в теории турбулентности и развитый в монографиях автора, для общего случая динамических систем и произвольной природы флуктуирующих параметров.

 Однако лишь для небольшого числа конкретных динамических систем удается получить конечные результаты в общем виде. Более продуктивным оказывается использование асимптотического метода, основанного на разложении статистических характеристик решений динамических задач по малому параметру, который является отношением времени корреляции случайного воздействия ко времени наблюдения или другим характерным временным масштабам задачи (в ряде случаев это будут не временные, а пространственные масштабы). Это приближение является обобщением теории броуновского движения и называется приближением дельта-коррелированного случайного процесса ( поля).

Применительно к задачам о динамических системах, движение которых подчиняется обыкновенным дифференциальным стохастическим уравнениям с гауссовыми флуктуациями параметров, используемый метод приводит к марковскому характеру решения задачи, а соответствующее уравнение для плотности вероятностей перехода имеет вид уравнения Фоккера–Планка. В книге подробно рассматриваются методы анализа этого уравнения и краевых условий для него, его решения с помощью интегральных преобразований и условия его применимости. В более сложных задачах, описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных, этот метод приводит к обобщенному уравнению типа Фоккера–Планка в вариационных производных для характеристического функционала решения задачи. Для динамических систем с негауссовыми флуктуациями параметров предлагаемый метод также приводит к марковскому характеру решения. Плотность вероятностей решения соответствующих динамических стохастических уравнений удовлетворяет при этом замкнутому операторному уравнению.

В физических работах, в которых используются уравнения Фоккера–Планка и подобные ему, они обычно выписываются на основе интуитивных соображений, а динамические уравнения привлекаются лишь для подсчета входящих в них коэффициентов. Такой подход, вообще говоря, непоследователен. Действительно, статистическая задача полностью определена динамическими уравнениями и предположениями о статистике случайных воздействий. При этом, например, уравнение Фоккера–Планка должно являться логическим следствием динамических уравнений и тех или иных предположений о характере случайных воздействий. Ясно, что далеко не во всех случаях решение задачи будет сводиться к уравнению Фоккера–Планка. Функциональный подход позволяет получить как уравнение Фоккера–Планка, исходя непосредственно из динамического уравнения задачи, так и условия его применимости. С формальной математической точки зрения наш подход соответствует подходу Р.Л.Стратоновича (см., например,[4]).

Развитый функциональный подход позволяет также для определенного класса случайных процессов (марковские процессы телеграфного типа, гауссов марковский процесс и т.п.) получать замкнутые уравнения для плотности вероятностей решения задач и с учетом конечности времени корреляции случайных воздействий.

Для гауссовых флуктуаций параметров можно построить и более физичное приближение, чем приближение дельта-коррелированного случайного процесса (поля) – так называемое диффузионное приближение, учитывающее конечность временного радиуса корреляции. В этом приближении решение задачи является марковским, а условие его применимости имеет прозрачный физический смысл – малость статистических эффектов на масштабах порядка временного радиуса корреляции флуктуирующих параметров. Все эти вопросы подробно обсуждаются в данной книге как с общих позиций, так и на примерах конкретных физических проблем.

В последнее время внимание и теоретиков, и экспериментаторов привлекает вопрос о связи динамики усредненных статистических характеристик решения задачи с поведением решения в отдельных реализациях. Это особенно актуально для геофизических проблем, связанных с атмосферой и океаном, где, вообще говоря, отсутствует соответствующий ансамбль усреднения и экспериментаторы, как правило, имеют дело с отдельными реализациями.

Решение динамических задач для этих конкретных реализаций параметров среды практически безнадежно изНза их чрезвычайной математической сложности. В то же время исследователей интересуют основные особенности протекающих явлений, без отвлечения на частности. Поэтому очень привлекательной оказалась идея использовать хорошо развитый математический аппарат случайных процессов и полей, т.е. вместо отдельных реализаций исследуемых процессов рассматривать статистические средние по всему ансамблю возможных реализаций. В настоящее время, например, практически все задачи физики атмосферы и океана в той или иной степени основываются на статистическом анализе.

 Введение случайности в параметрах среды порождает стохастичность в самих физических полях. Индивидуальные реализации, например скалярных двумерных полей p(R,t), R= {x,y}, напоминают сложный горный ландшафт со случайно распределенными пиками, провалами, хребтами и перевалами. На рис. приведены примеры реализаций двух случайных полей разной статистической структуры. О математическом и физическом смысле этих полей см. раздел 8.3 на с. 234.

Обычно используемые методы статистического усреднения (т.е. вычисления средних типа среднего значения –(p(R,t), пространственно-временной корреляционной функции – (p(R,t)(p(R`,t`) и т.п., где через (...) обозначено усреднение по ансамблю реализаций случайных параметров), сглаживают качественные особенности отдельных реализаций, и зачастую полученные статистические характеристики не только не имеют ничего общего с поведением отдельных реализаций, но даже, на первый взгляд, им противоречат. Так, например, статистическое усреднение по всем реализациям делает поле средней концентрации пассивной примеси в случайном поле скоростей все более гладким, в то время как каждая его отдельная реализация, за счет перемешивания областей с существенно разной концентрацией, стремится стать все более изрезанной в пространстве.

Таким образом, статистические средние указанного типа обычно характеризуют "глобальные" пространственно-временные масштабы области, где осуществляются стохастические процессы, и ничего не говорят о деталях развития процессов внутри нее. А такие детали для данного примера существенно зависят от характера поля скоростей – является оно дивергентным или бездивергентным. Так, в первом случае с вероятностью, равной единице, в отдельных реализациях образуются кластеры – компактные области повышенной концентрации примеси, окруженные обширными областями плотности низкой концентрации. Однако при этом все статистические моменты расстояния между частицами экспоненциально растут во времени, т.е. имеет место статистическое разбегание частиц в среднем.

Аналогично этому имеет место экспоненциальное разбегание лучей в среднем при распространении волн в случайных средах, и в то же время с вероятностью единица происходит образование каустик на конечных расстояниях. Другим примером, иллюстрирующим вышесказанное, является динамическая локализация плоских волн в слоистых случайно-неоднородных средах, заключающаяся в том, что реализации интенсивности волнового поля экспоненциально убывают вглубь среды с вероятностью, равной единице, при падении волны на полупространство такой среды, и в то же время все ее статистические моменты экспоненциально растут с расстоянием от границы среды.

 Такие физические процессы и явления, происходящие с вероятностью единица, будем называть когерентными процессами и явлениями (см., например,). Подобную "статистическую когерентность" можно рассматривать как некую организацию сложной динамической системы, и выделение ее статистически устойчивых характеристик аналогично понятию когерентности как самоорганизации многокомпонентных систем, возникающих из хаотических взаимодействий их элементов (см., например,). Получить же ответ на вопрос о том, происходит ли такое явление с вероятностью единица, вообще говоря, достаточно сложно. Однако для ряда задач в рамках простейших моделей флуктуирующих параметров это удается сделать путем аналитического решения. В других случаях убедиться в этом можно с помощью численного моделирования или из анализа экспериментальных данных.

Полная статистика (например, полная совокупность всех n-точечных пространственно-временных моментных функций), безусловно, содержит всю информацию о динамической системе. Однако на практике удается исследовать лишь некоторые простейшие статистические характеристики, связанные, главным образом, с одновременными и одноточечными распределениями вероятностей. Поэтому возникает вопрос: как, зная такого рода статистические характеристики и особенности системы, получить основные количественные и качественные особенности поведения отдельных ее реализаций?

Ответ на этот вопрос дают методы статистической топографии (см., например,). Методы статистической топографии позволяют переосмыслить "философию" статистического анализа динамических стохастических систем, что может быть полезно и для экспериментаторов, планирующих статистическую обработку экспериментального материала. Все эти вопросы подробно обсуждаются в книге.

 Монография предназначена для научных сотрудников, интересующихся математическим анализом стохастических задач физики. Однако она может быть полезна также студентам старших курсов и аспирантам математических и физических специальностей, имеющим дело со стохастическими динамическими системами. Книга состоит из трех частей.

Первую часть книги можно рассматривать как вводную. В ней рассмотрено несколько примеров типичных физических задач и обсуждаются особенности их решений в присутствии случайных возмущений параметров, определяющих их динамику. Более подробная постановка этих задач и их статистический анализ приведены в других частях книги.

Вторая часть книги посвящена общей теории статистического анализа динамических систем с флуктуирующими параметрами, описываемых как дифференциальными, так и интегральными уравнениями. Эта общая теория иллюстрируется конкретными примерами динамических систем. Здесь также рассматриваются такие асимптотические методы статистического анализа динамических систем, как приближение дельта-коррелированного случайного процесса (поля) и диффузионное приближение.

 Третья часть книги посвящена анализу таких конкретных физических проблем, связанных с когерентными явлениями, как кластеризация и диффузия частиц и пассивной примеси (скалярной и векторной) в случайном поле скоростей, динамическая локализация при распространении плоских волн в слоистых случайных средах и возникновение каустической структуры волнового поля в многомерных случайных средах. Эти проблемы описываются как обыкновенными дифференциальными уравнениями, так и уравнениями в частных производных.

Каждый очерк снабжен задачами для самостоятельного решения, дополняющими общий текст книги, что должно помочь молодому исследователю быстрее "набить руку" для самостоятельной работы.

Более подробную информацию по существу излагаемого материала и библиографическим ссылкам можно найти в упомянутых выше монографиях и обзорных работах за последнее время.

При подготовке этого издания автор старался учесть замечания и пожелания читателей как по улучшению стиля написания книги, так и по конкретным задачам. Исправлены различного рода неточности и опечатки.

Об авторе

Окончил радиотехнический факультет МФТИ по специальности "Теоретическая ядерная физика" в 1964 г. Доктор физико-математических наук (1977), профессор по специальности "Теоретическая и математическая физика" (1988). Лауреат Государственной премии СССР за исследования в области распространения волн в турбулентной атмосфере (1990). В настоящее время – главный научный сотрудник Института физики атмосферы им.А.М.Обухова РАН. Область научных интересов: теоретическая и математическая физика; прикладная математика; теория случайных процессов и полей; теория стохастических уравнений; статистическая акустика, гидродинамика, магнитная гидродинамика и радиофизика.

В.И.Кляцкин – автор нескольких монографий, в числе которых "Метод погружения в теории распространения волн" (М., 1986), "Динамика стохастических систем: Курс лекций" (М., 2002), "Стохастические уравнения: Теория и ее приложения к акустике, гидродинамике и радиофизике" (в 2 т.; М., 2008) и др., а также статей в различных научных изданиях; некоторые его работы переведены на иностранные языки. Член редакционной коллегии журнала "Известия РАН. Физика атмосферы и океана".