Amelkin V.V. Ecuaciones diferenciales en la práctica

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Prólogo

Uno de los conceptos matemáticos más importantes es el de ecuación diferencial. A partir de una ecuación diferencial se pueden hallar funciones cuyas derivadas (o diferenciales) satisfacen ciertas condiciones preestablecidas. Una ecuación diferencial obtenida como resultado de la investigación de un fenómeno o proceso real cualquiera, se llama modelo diferencial del fenómeno o proceso. Es claro que los modelos diferenciales son casos particulares del conjunto de todos los modelos matemáticos que pueden construirse al estudiar el mundo que nos rodea. Debemos subrayar que los modelos diferenciales tienen su propia clasificación. Nosotros examinaremos únicamente los modelos diferenciales representados por las llamadas ecuaciones diferenciales ordinarias, las cuales se caracterizan por el hecho de que las funciones incógnitas presentes en ellas dependen de una sola variable.

Al construir los modelos diferenciales ordinarios (y no sólo ellos) es de gran importancia, y a veces tiene un valor primordial, el conocimiento de las leyes propias de la rama de la ciencia con la cual está relacionado el problema examinado. Por ejemplo, en la mecánica tales leyes pueden ser las leyes de Newton; en la teoría de circuitos eléctricos, las leyes de Kirchhoff; en la teoría de las reacciones químicas, la ley de acción de masas; etcétera.

Por supuesto, en la práctica se suelen presentar problemas para los que no se conocen leyes que permitan construir las ecuaciones diferenciales que los describen. En esos casos, una alternativa es recurrir a suposiciones (hipótesis) sobre el comportamiento del proceso para variaciones pequeñas de los parámetros (variables) que lo determinan. Pasando posteriormente al límite se llega a una ecuación diferencial. Si al actuar de esta manera los resultados obtenidos del análisis de la ecuación diferencial concuerdan con los datos experimentales, entonces se puede afirmar que las hipótesis hechas sobre el problema inicial reflejan correctamente su estado real.

Al elaborar este libro, el autor se fijó dos objetivos. El primero es mostrar mediante ejemplos tomados de diferentes ramas de la ciencia (ejemplos con contenido y no meramente ilustrativos) las posibilidades del empleo de las ecuaciones diferenciales ordinarias en el estudio de la realidad que nos rodea. Claro está, los ejemplos examinados están lejos de abarcar todo el conjunto de preguntas que se pueden contestar utilizando ecuaciones diferenciales ordinarias. Pero, en primer lugar, "nadie puede abarcar lo inabarcable", y en segundo, las situaciones analizadas aquí ya dan una idea del papel que desempeñan las ecuaciones diferenciales ordinarias en la resolución de problemas prácticos.

El segundo objetivo es dar a conocer al lector las técnicas y métodos más simples de investigación de las ecuaciones diferenciales ordinarias. En realidad, nos referimos a las técnicas y métodos propios de la teoría cualitativa de las ecuaciones diferenciales, pues, salvo en algunos casos, casi nunca es posible resolver un ecuación diferencial en forma cerrada, es decir, obtener su solución en forma analítica mediante un número finito de operaciones elementales con funciones, !`aun sabiendo que la ecuación diferencial tiene solución! Dicho de otro modo, entre la gran variedad de ecuaciones diferenciales muchas de ellas no poseen soluciones representables en forma cerrada por medio de un número finito de operaciones analíticas. Esta situación es semejante a la que se observa en la teoría de las ecuaciones con polinomios algebraicos: las soluciones de las ecuaciones algebraicas de primer y segundo grados se pueden obtener fácilmente en radicales; incluso las soluciones de las ecuaciones de tercer y cuarto grados pueden ser expresadas en radicales, pero las fórmulas ya son muy complicadas; en cuanto a las ecuaciones algebraicas de grado mayor que cuatro, sus soluciones no se pueden, en general, obtener en radicales.

Regresando a las ecuaciones diferenciales, subrayemos el hecho de que el empleo de series infinitas de uno u otro tipo permiten resolver una cantidad considerablemente mayor de ecuaciones que los métodos analíticos. Desafortunadamente, con mucha frecuencia las propiedades esenciales y más interesantes de las soluciones no se pueden "sacar a la luz" cuando están representadas mediante series de este tipo. Es más, en muchos casos, cuando se logra resolver la ecuación diferencial en forma cerrada, la solución resulta tan complicada que no es susceptible de análisis.

Lo anterior evidencia la necesidad de utilizar métodos y técnicas que permitan obtener la información necesaria sobre tales o cuales propiedades de las soluciones sin tener que resolver las ecuaciones diferenciales correspondientes. Pues bien, dichos métodos y técnicas existen, ellos constituyen el contenido de la teoría cualitativa de las ecuaciones diferenciales, en cuya base están los teoremas generales de existencia y unicidad de las soluciones, y los teoremas sobre la dependencia continua de las soluciones respecto a las condiciones iniciales. En la sección "?`Necesitan los ingenieros los teoremas de existencia y unicidad?" se habla del papel que desempeñan los teoremas de existencia y unicidad de las soluciones. En lo referente a la teoría cualitativa de las ecuaciones diferenciales ordinarias en general, iniciada a finales del siglo XIX con los trabajos de H.Poincaré y A.M.Liapunov, hoy sigue desarrollándose intensamente, y sus métodos se usan ampliamente en el estudio de la realidad circundante.

El autor expresa su gratitud a los profesores Iu.S.Bogdánov y M.V.Fedoriuk por sus consejos y observaciones útiles durante la elaboración del libro.