| Prólogo a la tercera edición en ruso |
| Introducción |
| Capítulo 1. Nociones fundamentales sobre las curvas planas |
| | 1.1 | Puntos regulares y singulares de una curva plana |
| | 1.2 | Estructura de una curva en un entorno de un punto regular |
| | 1.3 | Tangente y normal en un punto regular. Ecuación en coordenadas cartesianas |
| | 1.4 | Tangente y normal en un punto regular. Ecuación paramétrica |
| | 1.5 | Tangente y normal en un punto regular. Coordenadas polares |
| | 1.6 | Estructura de una curva en un entorno de un punto singular. Resultados fundamentales |
| | 1.7 | Estructura de una curva en un entorno de un punto singular. Detalles teóricos |
| | 1.8 | Envolvente de una familia de curvas |
| | 1.9 | Familia de curvas en un entorno de un punto dado |
| | 1.10 | Asíntotas |
| | 1.11 | Asíntota como posición límite de la tangente |
| | 1.12 | Asíntotas de curvas algebraicas |
| Capítulo 2. Derivada de una función vectorial y sus aplicaciones en la teoría de curvas |
| | 2.1 | Definición de derivada. Técnica de derivación |
| | 2.2 | Interpretación de una función vectorial como el vector de posición de una curva expresada paramétricamente |
| | 2.3 | Condición suficiente de punto regular |
| | 2.4 | Sentido geométrico de la derivada de una función vectorial |
| | 2.5 | Diferencial de una función vectorial |
| | 2.6 | Dos lemas |
| | 2.7 | Serie de Taylor de una función vectorial |
| | 2.8 | Estructura de una curva expresada paramétricamente en un entorno de un punto arbitrario |
| | 2.9 | Longitud de arco como parámetro |
| | 2.10 | Tangencia de curvas |
| | 2.11 | Nociones complementarias sobre la tangencia de curvas |
| Capítulo 3. Curvatura de curvas planas |
| | 3.1 | Circunferencia osculatriz |
| | 3.2 | Construcción de la osculatriz mediante paso al límite |
| | 3.3 | Curvatura |
| | 3.4 | Vectores |
| | 3.5 | Fórmulas de Frenet |
| | 3.6 | Evoluta |
| | 3.7 | Evolvente |
| | 3.8 | Ecuación natural de una curva |
| Capítulo 4. Teoría de la curvatura de las curvas espaciales |
| | 4.1 | Tangentes y normales |
| | 4.2 | Tangencia de una curva y una superficie |
| | 4.3 | Puntos de rectificación |
| | 4.4 | Plano osculador |
| | 4.5 | Triedro intrínseco |
| | 4.6 | Dos lemas sobre la circunferencia |
| | 4.7 | Circunferencia osculatriz |
| | 4.8 | Curvatura de una curva espacial |
| | 4.9 | Fórmulas de Frenet. Torsión |
| | 4.10 | Fórmulas para el cálculo de la curvatura y la torsión |
| | 4.11 | Estructura de una curva en un entorno de un punto regular |
| | 4.12 | Esfera osculatriz |
| | 4.13 | Ecuaciones naturales |
| Capítulo 5. Conceptos fundamentales de la teoría de superficies |
| | 5.1 | Coordenadas curvilíneas en una superficie |
| | 5.2 | Curvas en una superficie |
| | 5.3 | Primera forma fundamental de una superficie |
| | 5.4 | Segunda forma fundamental de una superficie |
| | 5.5 | Fórmula principal para la curvatura de una curva de la superficie |
| | 5.6 | Teorema de Meusnier |
| | 5.7 | Función vectorial lineal en el plano |
| | 5.8 | Direcciones propias y valores propios |
| | | Caso principal |
| | | Caso singular |
| | 5.9 | Función vectorial principal y direcciones principales |
| | 5.10 | Investigación de la curvatura de las secciones normales |
| | 5.11 | Fórmula de Euler. Curvaturas principales |
| | 5.12 | Cálculo de las curvaturas principales y las direcciones principales |
| | 5.13 | Tipos de puntos de una superficie |
| | 5.14 | Fórmulas de cálculo |
| | 5.15 | Líneas de curvatura |
| | 5.16 | Líneas asintóticas |
| | 5.17 | Tercera forma fundamental. Direcciones conjugadas |
| | 5.18 | Dependencia entre las tres formas cuadráticas fundamentales |
| | 5.19 | Transformación esférica de una superficie |
| Capítulo 6. Superficies regladas y superficies desarrollables |
| | 6.1 | Concepto de superficie reglada y superficie desarrollable |
| | | Caso general |
| | | Caso especial |
| | 6.2 | Punto de estricción |
| | 6.3 | Línea de estricción. Estructura de una superficie desarrollable |
| | 6.4 | Parámetro de distribución |
| | 6.5 | Envolvente de una familia uniparamétrica de superficies |
| | 6.6 | Superficie desarrollable como envolvente de una familia de planos |
| | 6.7 | Arista de retroceso de la envolvente de una familia de planos |
| | 6.8 | Líneas asintóticas y curvatura total de una superficie reglada |
| | 6.9 | Superficies desarrollables y superficies de curvatura total nula |
| | 6.10 | Trayectorias ortogonales en las superficies desarrollables |
| | 6.11 | Propiedades geométricas de las líneas de curvatura |
| | 6.12 | Redes conjugadas en una superficie |
| Capítulo 7. Geometría intrínseca de una superficie |
| | 7.1 | Concepto de deformación isométrica |
| | 7.2 | Geometría intrínseca y deformación isométrica de una superficie |
| | 7.3 | Notaciones con índices |
| | 7.4 | Primer grupo de fórmulas derivacionales. Símbolos de Christoffel |
| | 7.5 | Segundo grupo de fórmulas derivacionales. Ecuaciones de Weingarten |
| | 7.6 | Papel de la segunda forma fundamental |
| | 7.7 | Teorema de Gauss |
| | 7.8 | Ecuaciones de Petersón–Codazzi |
| | 7.9 | Vectores de una superficie |
| | 7.10 | Gradiente de un campo escalar de una superficie |
| | 7.11 | Transporte paralelo de vectores en una superficie |
| | 7.12 | Propiedades del transporte paralelo |
| | 7.13 | Curvatura normal y curvatura geodésica de una curva en una superficie |
| | 7.14 | Cálculo de la curvatura geodésica |
| | 7.15 | Líneas geodésicas de una superficie |
| | 7.16 | Líneas geodésicas desde el punto de vista del transporte paralelo en una superficie |
| | 7.17 | Coordenadas semigeodésicas en una superficie |
| | 7.18 | Propiedad extremal de las geodésicas |
| | 7.19 | Deformación isométrica de las superficies de curvatura no constante |
| | 7.20 | Superficies isométricas a una superficie de revolución |
| | 7.21 | Deformación isométrica de superficies de curvatura total constante |
| | 7.22 | Superficies de revolución de curvatura constante |
| | 7.23 | Transporte paralelo de un vector por un contorno cerrado |
| Breve reseña histórica |
| Índice de autores |
| Índice de materias |
Piotr Konstantínovich Rashevski