| 1 | ¿`Qué es la matemática? |
| 2 | ¿`Dónde y cuándo surgió la matemática? |
| 3 | ¿`Cuál es la estructura de la matemática? |
| 4 | El mundo real y los sistemas formales |
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El proceso que permite al hombre conocer el mundo real es complejo. En
este proceso participa todo el sistema de las ciencias, sus tres
subsistemas (ciencias naturales, ciencias sociales [o humanidades] y
ciencias matemáticas), que se diferencian por sus métodos y objetos de
investigación. Un papel fundamental en el proceso cognitivo es desempeñado
por la filosofía, la cual estudia los problemas sobre la visión e interpretación del mundo que son comunes a todas
las ciencias y propone un sistema general de concepciones acerca del mundo
circundante: la naturaleza, la sociedad y el hombre.
Podemos considerar que la matemática se encuentra en la frontera entre las
ciencias naturales y la filosofía. Esta ciencia, abstracta por su forma,
estudia en esencia las relaciones cuantitativas y las formas espaciales
del mundo real (comprendidas en el sentido más amplio). La matemática pone a
disposición de los científicos el método de estimación cualitativa y
análisis cuantitativo concreto de los resultados obtenidos, así como
medios y métodos de investigación. En la actualidad el arsenal de métodos
propuestos por la matemática es extraordinariamente rico.
Los métodos del análisis matemático y la simulación matemática
permiten investigar el nacimiento de las galaxias y los problemas geológicos
que tienen lugar en las entrañas de la Tierra, nos guían en
la resolución de problemas de planificación económica y social.
?`Qué representa la matemática en el mundo actual y cuál es su papel?
?`Por qué su importancia crece con tanta rapidez en todos los campos de la
actividad humana? Intentemos aclarar esta cuestión.
Las ciencias se dividieron desde hace mucho tiempo en ciencias naturales y
ciencias sociales. Las ciencias naturales (física, química, geología y
otras) estudian el mundo material que nos rodea, las ciencias sociales
(historia, filosofía, sociología y otras) estudian la sociedad humana.
La matemática forma un grupo relativamente independiente. La explicación
es que, a pesar de que las raíces históricas de la matemática se
encuentran en la actividad práctica, en el proceso de desarrollo ella se
apartó de su base empírica y comenzó a desarrollarse exclusivamente en la
dirección teórica, tratando con construcciones abstractas creadas por
nuestra mente. Desde este punto de vista, las diferencias entre la
matemática y la "no matemática" resultan mucho más profundas que las
diferencias entre las ciencias naturales y las ciencias sociales. Es más,
en las últimas décadas la frontera entre las ciencias naturales y las
sociales se ha ido borrando gradualmente, y en la actualidad a menudo
resulta difícil determinar si uno u otro campo del conocimiento humano
pertenece a las ciencias naturales o a las sociales. ?`Qué representa,
digamos, la economía hoy? Por su origen y los objetivos planteados ante
ella, es indudable que se debe considerar como una de las ciencias
sociales; sin embargo, los métodos característicos para las
investigaciones económicas en la actualidad y el planteamiento mismo de
los problemas económicos son tales que, en una serie de aspectos, resulta
mucho más natural incluir la economía entre ciencias como la física o la
geología y no relacionarla con el estudio del arte, por ejemplo. Para las
ciencias sociales siempre ha sido característico el carácter especulativo
de los razonamientos empleados en ellas, la ausencia de experimentos (por
muy interesante que parezca, es imposible, digamos, realizar
experimentalmente otra batalla de Waterloo, en la que esta vez el mariscal
francés Grouchy llegara al campo de batalla antes que el mariscal Blücher,
y ver cómo cambiaría la historia de Europa en esta variante). Por otra
parte, la sociología, ciencia que estudia la sociedad humana, nació (en el
siglo XX) como una ciencia puramente experimental, en la actualidad
utiliza ampliamente los métodos matemáticos y la deducción, y en un corto
período de tiempo ha recorrido un camino muy parecido al que en su tiempo
recorrió la física.
La unión de las ciencias naturales con las ciencias sociales es estimulada
por la rápida introducción de los métodos matemáticos (que
tradicionalmente se utilizaban sólo en la física y la astronomía) en las
ciencias sociales, por la "expansión matemática" global, característica de
nuestros días, por la conquista de nuevos territorios que antes no eran
controlados por la matemática. En el pasado las ciencias sociales, por lo
general, no utilizaban el aparato matemático y la deducción como método de
razonamiento, lo que creaba una gran diferencia entre estas ciencias y la
física o la química, por ejemplo. Esta diferencia era tan profunda que
hasta el presente en las lenguas de Europa Occidental el término "ciencia"
no se aplica a disciplinas como la literatura o la historia. Sin embargo,
en la actualidad la situación ha cambiado radicalmente, y la "lingüística
matemática" (además de la "crítica matemática del arte" y la "filología
matemática"), la "jurisprudencia
matemática" y otros campos del conocimiento
(sin hablar ya de la "economía matemática") han comenzado a
ocupar un lugar muy importante para los representantes de las ciencias
sociales. Por esta razón, en las facultades de filología, jurisprudencia y
economía frecuentemente se dictan cursos de matemática que, por su
volumen, superan con creces el curso tradicional de "matemática superior"
que desde tiempos inmemoriales se dictaba a los futuros ingenieros.
Debemos señalar que en los últimos decenios cambiaron
no sólo las ciencias sociales, sino también la matemática. En el pasado la
matemática "de las demostraciones" siempre despreció los razonamientos
inductivos y puramente descriptivos.
Ésta fue una de las razones de la
resonancia que obtuvo el título del libro de George Pólya
en el
que el autor revela los "secretos" de la creatividad matemática, de los
cuales no se solía hablar en voz alta. Sin embargo, ahora el acercamiento
de la matemática y las ciencias sociales ha provocado cierta
"humanización" de la matemática, la penetración en ella de métodos y
puntos de vista característicos de las humanidades. Un ejemplo elocuente
de este punto de vista puede ser, por ejemplo, el estudio de los conjuntos
"difusos".
Las ciencias naturales y sociales estudian en forma objetiva la realidad
existente. Para un físico, por ejemplo, el único criterio de la verdad es
la coincidencia de los resultados obtenidos teóricamente con los
resultados experimentales. Una demostración física es correcta si el
resultado proporcionado por ella coincide con los hechos observados en la
realidad, y es incorrecta si este resultado contradice el resultado de los
experimentos. El físico no conoce ninguna otra definición de "verdad".
Por el contrario, la matemática no tiene relación con ningún otro
"laboratorio" que no sea la mente humana. El único criterio de la
validez de un razonamiento matemático es su impecabilidad lógica, el
cumplimiento en todas las etapas del razonamiento de las reglas de
deducción establecidas por el propio matemático, las cuales están
directamente relacionadas con una rama bien definida de la matemática: la
lógica matemática. En la actualidad no contamos con un conjunto único de
reglas de deducción, sino con una gran cantidad de tales conjuntos,
posibles a priori y que se diferencian considerablemente unos de otros. Es
cierto que por ahora estas diferencias sólo influyen en la creatividad
científica de los especialistas en lógica matemática y fundamentos de la
matemática; sin embargo, es muy posible que dentro de unos años nos
tropecemos con ellos en problemas de la matemática aplicada: no por
casualidad algunas de las nuevas escuelas de fundamentos de la matemática
(por ejemplo, el ultraintuicionismo) declaran que tienen su origen en los
intentos de analizar las posibilidades de las computadoras. Hoy puede
suceder que un razonamiento matemático considerado correcto por un
científico sea considerado incorrecto por otro, siendo de notar que estos
dos puntos de vista diametralmente opuestos no indican que uno de los
científicos mencionados (digamos, el partidario del formalismo de Hilbert)
tiene la razón y que el otro (por ejemplo, el matemático constructivista)
está equivocado: esto no es así, ambos tienen la razón, sólo que ellos se
basan en diferentes "reglas de juego (matemático)", lo que da origen a dos
matemáticas diferentes (en nuestro caso a la matemática no constructiva y
a la matemática constructiva)...
Isaak Moisiéevich Yaglom (1921--1988)
Matemático y pedagogo soviético. Autor de populares libros de
divulgación científica y libros de texto dedicados a diversos
temas de la matemática. Doctor en Ciencias Físico-Matemáticas.
Especialista en geometría.
Fue reconocido como un brillante pedagogo. Trabajó en diversos
centros de enseñanza superior de la Unión Soviética (Instituto
de Energía de Moscú, Universidad Lomonósov de Moscú, Instituto
Pedagógico de Moscú, Universidad de Yaroslavl y otros).
Autor de más de 40 libros, algunos de los cuales se consideran
clásicos de la literatura matemática mundial. Es coautor de la
célebre obra en tres tomos Problemas y teoremas de
matemática elemental, la cual fue durante muchos años la
referencia principal de los aficionados a la matemática. Aparte
de las obras de contenido puramente matemático, I. M. Yaglom
publicó una serie de trabajos sobre la historia de la
matemática, en los que investigó la interrelación de esta
ciencia con las ciencias humanas, así como su papel en la vida y
el desarrollo de la sociedad.
