Medviédev G.N. Problemas de matemática.
Olimpiadas y exámenes de admisión. Facultad de Física de la Universidad Lomonósov de Moscú

Índice

Prólogo

El presente libro contiene problemas tomados de diferentes variantes de 60 exámenes de admisión y olimpiadas "Abiturient" de matemática que tuvieron lugar en la facultad de física de la Universidad Lomonósov de Moscú entre los años 1971 y 2006 (las olimpiadas comenzaron a efectuarse en el año 1993).

En la primera parte del libro se muestran dos variantes de cada examen u olimpiada. Al final del libro se dan las respuestas de todos los problemas. Para la resolución de una variante en un examen se dispone de cuatro horas.

En la segunda parte del libro se explica detalladamente la resolución de los problemas geométricos y algebraicos de mayor dificultad. El nivel de los demás problemas de cada variante corresponde al nivel estándar de preuniversitario, y pueden ser resueltos por un buen estudiante sin necesidad de ayuda.

Una particularidad del presente manual consiste en que los problemas resueltos en la segunda parte del libro no coinciden con los de las variantes ofrecidas en la primera parte (los problemas resueltos pertenecen a una tercera variante del mismo examen). De este modo, el estudiante en cada caso tiene a su disposición dos variantes completas no resueltas de cada examen y las indicaciones dadas en la solución de tres problemas similares de mayor dificultad.

La forma de expresión utilizada aquí, breve, pero no por ello imprecisa, permite concentrar la atención en la resolución de los problemas durante el examen y ahorrar tiempo al plasmar en papel los razonamientos. Por esta razón, es posible que la comprensión de estas soluciones exija cierto esfuerzo por parte del lector.

La forma de expresión utilizada en la resolución, breve, pero rigurosa, tiene como objetivo mostrar al lector cómo se pueden resolver los problemas durante el examen de admisión sin perder tiempo en la escritura de detalles superfluos. Por esta razón, es posible que la asimilación de estas resoluciones exija del lector determinados esfuerzos.

El autor quisiera expresar su reconocimiento y agradecimiento por el trabajo importante y altamente responsable realizado por los colaboradores del departamento de matemática de la facultad de física, quienes durante muchos años participaron en la selección de los problemas presentados en los exámenes de admisión, el análisis de los mismos y la comprobación de su solución. Sus observaciones y proposiciones hicieron posible el mejoramiento de muchos problemas, la elaboración de criterios de calificación de los resultados y la obtención de variantes de resolución. Varios problemas de alto grado estético fueron propuestos por V.F.Butúzov y S.B.Kadómtsev.

La edición anterior de este libro (2004) ha sido utilizada activamente por los profesores de cursos de preparación preuniversitaria y por los estudiantes de preuniversitario en su preparación individual.

Algunos consejos dirigidos al estudiante

Durante la preparación para un examen de admisión no sólo es necesario incrementar el arsenal de métodos de resolución, sino también entrenar los hábitos puramente técnicos, aprender a obtener con seguridad resultados correctos en los problemas simples. La mayoría de los problemas que se presentan en los exámenes de admisión entran en esta categoría.

Frecuentemente después de un examen se pueden oír comentarios como "Resolví la mayor parte de los problemas, pero no sé si los resolví correctamente".

En esta frase se mezcla lo humorístico (?`qué es un "problema resuelto incorrectamente"?) y lo trágico. Es casi seguro que el estudiante sabía cómo resolver estos problemas, pero independientemente de esto, no está seguro de que las respuestas obtenidas sean correctas. Se pregunta: ?`para qué aprender diferentes métodos de resolución de problemas si después no confías en tus propios cálculos?

En efecto, al revisar las soluciones dadas en los exámenes, se detecta una gran cantidad de errores en los problemas que el estudiante sabía cómo resolver, pero por descuido no pudo obtener el resultado correcto. Estos errores son imperdonables; la preparación para el examen debe estar orientada, en primer lugar, a eliminar estos errores.

?`Cómo lograr esto? Creemos que los siguientes consejos podrían ser útiles.

– Ante todo, aprenda a resolver problemas sencillos sin cometer errores. Para esto es necesario resolver una cantidad suficiente de problemas de esta categoría, incluso si el método de resolución ya ha sido comprendido (es imposible, por ejemplo, aprender a correr cien metros en 10 segundos o levantar 100 kilogramos sólo mirando cómo un deportista profesional lo hace).

– Aprenda a resolver en limpio los problemas simples. Esto aumenta la concentración y en el examen se economiza tiempo y fuerza para analizar los problemas más difíciles.

– Utilice todas las posibilidades de revisión de las respuestas en los problemas algebraicos, particularmente, las raíces simples por su forma, factibles de ser sustituidas fácilmente en la ecuación inicial, ya que los errores más lamentables tienen lugar cuando se obtiene un resultado incorrecto aunque el método de resolución utilizado era correcto.

– En los problemas geométricos en los que los datos se expresan mediante letras, compruebe los resultados para diferentes casos particulares, por ejemplo, para triángulos equiláteros, o para pirámides regulares, o para otras figuras "cómodas".

– Las variantes ofrecidas de cada examen son similares. No obstante, resuelva ambas y precisamente en pares, tratando de comprender lo más importante: la idea del problema. Una misma idea es presentada por los examinadores bajo diferentes aspectos: distintas formas de las ecuaciones o inecuaciones, diferentes fórmulas trigonométricas, en las condiciones del problema un ángulo agudo se cambia por uno obtuso, una pirámide triangular se sustituye por una cuadrangular, etcétera. Eliminando este "camuflaje" se logra lo más importante: dominar el método de resolución de toda una familia de problemas análogos.

– Al resolver una variante, trate de concluir completamente el trabajo, imagínese que más tarde ya no podrá regresar a él (como si hubiera entregado el trabajo al examinador), y sólo después de esto comience a revisar las respuestas.

Para concluir, no quisiera desearles suerte, sino éxitos merecidos.

Об авторе

Guerman Nikoláievich Medviédev

Profesor Emérito de la Universidad Estatal «M. V. Lomonósov» de Moscú. Galardonado con el Premio Lomonósov por su actividad pedagógica.

Durante los años 1971–2006 fue director de la comisión de preparación de los exámenes de admisión en la Facultad de Física de la Universidad Lomonósov de Moscú. Es autor de la mayoría de los problemas propuestos.

En numerosas ocasiones, matemáticos de otras facultades han elogiado los exámenes de la facultad de física por el balance alcanzado entre las exigencias técnicas y creativas, y por la elegancia de muchos de los problemas geométricos propuestos.

Este libro se utiliza activamente en los cursos de preparación tanto por los profesores como por los estudiantes preuniversitarios a nivel individual.