Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений.
Перевод с английского. Изд. 2

Оглавление

От переводчика

Всякому, кто имел дело с теорией или с применением обыкновенных дифференциальных уравнений, хорошо известно, как важно уметь выяснять асимптотические свойства решений. Сюда относится изучение вопросов о том, будут ли решения колеблющимися, будут ли они ограниченными, устойчивыми в том или ином смысле, вопросов приближенной оценки решений для больших значений аргумента и многих других вопросов. Между тем получить решение в явном виде и затем исследовать его непосредственно удается лишь в редких, исключительных случаях, даже если привлекать специальные функции. Поэтому со всей остротой встает задача качественного исследования свойств решений данного дифференциального уравнения или системы без использования явного вида этих решений.

Задача эта в общем виде чрезвычайно сложна. Даже одно из наиболее простых уравнений (и притом весьма важное для приложений) – линейное дифференциальное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами, как образно говорит автор настоящей книги, "представляет собой постоянный вызов искусству аналитика: надо получать всевозможные свойства решений этого уравнения, не пользуясь такой роскошью, как представление этих решений через коэффициенты".

Для многих важных классов дифференциальных уравнений существует большое количество подчас остроумных и сильных методов такого исследования. К сожалению, обширная литература по этим вопросам в подавляющем большинстве состоит из разрозненных журнальных статей. Книга Р.Беллмана – одна из немногих книг по качественной теории дифференциальных уравнений. Отобрав из богатейшего материала ряд узловых моментов, автор сжато и убедительно показывает силу применяемых здесь методов. При этом он подробно обосновывает каждый метод, показывая сферу его действия и его преимущества. Овладев этими методами, читатель сможет успешно применять их для решения проблем, аналогичных разобранным в книге.

Значительный интерес представляют упражнения, которыми автор сопровождает изложение. Некоторые из них содержат материал, используемый в основном тексте книги. Ряд более трудных упражнений можно рекомендовать для студенческих курсовых и дипломных работ.

Особо следует отметить характерную для книги живость изложения, облегчающую чтение и помогающую усвоению материала.

Не все в книге изложено на одинаковом уровне. Многие важные вопросы, непосредственно относящиеся к тематике книги, освещены бегло и поверхностно. В особенности это касается теории устойчивости по Ляпунову. Книга не дает настоящего представления о современном состоянии этой важной теории, в частности потому, что в ней не приводятся многие основные результаты русских авторов. Для восполнения указанного пробела читателю придется обратиться к дополнительной литературе, списки которой приложены к гл.II и IV. Большой список дополнительной литературы прилагается также к гл.VI, посвященной линейным уравнениям второго порядка.

Кроме того, необходимо отметить, что книга Р.Беллмана написана с непривычной для нашего читателя небрежностью. Она содержит ряд неточных формулировок, некоторые доказательства недостаточны, применяемые обозначения порой неудачны (например, в одном и том же месте одинаковыми буквами обозначаются совершенно разные величины) и т.п. Число различных мелких погрешностей и опечаток в формулах в этой небольшой книге превышает сотню.

При переводе я стремился устранить эти недостатки. Мелкие исправления редакционного характера внесены в текст без специальных оговорок, чтобы не затруднять читателя. Небольшие примечания даны внизу страниц, а более серьезные пояснения вынесены в конец книги.

Несмотря на указанные недостатки, книга Р.Беллмана представляет несомненный интерес для широкого круга советских математиков, как специалистов в области теории дифференциальных уравнений, так и изучающих эту теорию. Она будет полезна также для физиков, инженеров, работающих в области теории регулирования и автоматики, и вообще для всех тех, кто в своей практической деятельности сталкивается с применением дифференциальных уравнений.

Из предисловия автора

Основная задача теории дифференциальных уравнений заключается в том, чтобы вывести свойства решений данного дифференциального уравнения из аналитической формы уравнения. Хотя в некоторых случаях это можно сделать очень просто, выразив решение через элементарные функции, но, вообще говоря, уравнения, появляющиеся в теоретических исследованиях как в математике, так и в физике, не интегрируются в конечном виде. Они скорее служат основным источником новых трансцендентных функций, свойства которых можно установить только при систематическом и детальном анализе широких классов уравнений.

Мы будем рассматривать в этой книге вещественные решения вещественных уравнений и изучать поведение этих решений при неограниченном возрастании независимой переменной. В задачах, имеющих физическое содержание, этой переменной чаще всего является время. Наибольший интерес для нас будут представлять ограниченность, асимптотическое поведение, колебания и устойчивость решений.

Книга не претендует на энциклопедичность и не представляет собой каталога всех результатов, которые примыкают к сфере рассматриваемых в ней вопросов. Это и не выполнимо и не желательно во вводном курсе. Мы скорее пытались, насколько это возможно, добиться единства при изложении теории, сосредоточивая внимание на небольшом числе мощных методов доказательства. По этой причине в некоторых случаях мы без колебания доказывали теоремы по нескольку раз, используя различные подходы к ним.

Выводы на протяжении всего изложения элементарны и опираются только на основные понятия анализа. Поэтому значительная часть работы оказалась довольно трудной, так как многие из результатов надо было путем скучных и утомительных вычислений вывести шаг за шагом из элементарных понятий, причем каждый новый результат требовал новой конструкции.

Чтобы сохранить элементарный характер работы, мы опустили исследование периодических решений нелинейных дифференциальных уравнений, таких, например, как известное уравнение ван дер Поля, так как это исследование потребовало бы применения сложных аналитических и топологических методов.

План книги следующий. В гл.I мы изучаем основные свойства линейных систем и получаем результаты, существенные для дальнейшего более глубокого исследования линейных и нелинейных систем. Для этой цели мы вводим векторно-матричные обозначения и изучаем простые преобразования матриц, которые оказываются очень полезными в теории асимптотического поведения решений. Целесообразно было бы иметь независимое краткое изложение основных результатов теории матриц. К сожалению, нет единого источника, к которому мы могли бы отослать читателя для более глубокого изучения необходимых разделов этой теории.

В гл.II мы обращаемся к интересному и важному вопросу, который начали изучать еще Дини и Пуанкаре, – об асимптотическом поведении решений уравнений с коэффициентами, близкими к постоянным. После изложения нескольких результатов, в которых дается оценка первого порядка, мы рассматриваем задачу получения приближения произвольно высокого порядка. Это, естественно, приводит к понятию асимптотического разложения, введенному Пуанкаре. Так как литература по этому вопросу обширна и значительная часть материала достаточно сложна, то мы, в соответствии с нашей общей установкой, показываем только один из наиболее важных результатов, чтобы дать возможность читателю отведать вкус общей теории.

В гл.II в. связи с исследованием асимптотического поведения решений мы останавливаемся также на понятии устойчивости – этого сильно перегруженного термина с неустановившимся определением.

Теоремы о существовании и единственности решений для нелинейных систем составляют содержание гл.III. Они приводятся не столько из-за их самостоятельного значения, сколько потому, что дают возможность продемонстрировать два сильных метода – метод последовательных приближений, уже рассмотренный в более простом случае в гл.I, и метод приближения дифференциальных уравнений разностными уравнениями.

Далее, в гл.IV, мы излагаем основные результаты Пуанкаре и Ляпунова об устойчивости решений нелинейных систем. Чтобы проиллюстрировать многообразие применяемых при этом важных методов, мы проводим некоторые доказательства при различных ограничивающих предположениях.

Гл.V посвящена изучению вещественных решений полиномиального уравнения P(t, u, du/dt)=0. Введя важное понятие собственного решения как решения, остающегося конечным при t≥t⁰ (это именно тот тип решений, который требуется в большинстве физических исследований), мы излагаем затем замечательные результаты Бореля и Харди об асимптотическом поведении вещественных собственных решений.

В гл.VI излагаются результаты, которые получаются сочетанием изобретательности и специальных приемов. Подобно тому как элементарная геометрия на плоскости упорно отказывается довольствоваться только следствиями теорем, справедливых для общих алгебраических кривых, и беспрестанно доставляет новые теоремы, о которых не приходится и мечтать в более широкой области, так и изучение уравнения u" ± a (f) и = 0 в изобилии доставляет изящные и неожиданные результаты, которые не могут быть получены из общей теории линейных систем n-го порядка.

Мы старались изложить достаточное количество специальных приемов решения (помня о том, что прием становится методом, если он применяется по крайней мере дважды), чтобы дать возможность читателю, добросовестно проработавшему главу, получать новые результаты и читать научные статьи.

Гл.VII посвящена нелинейному уравнению частного вида u" ± t^σuⁿ = 0. Это уравнение впервые обратило на себя внимание в связи с астрофизическими исследованиями Эмдена. Некоторые результаты, полученные Эмденом в основном полуинтуитивно, с большой изобретательностью, свойственной физику, были затем уточнены Фаулером. Это побудило Фаулера и других продолжить изыскания и дать полное исследование правильных решений указанного уравнения для всех значений параметров. Это уравнение, а также тесно связанное с ним уравнение u" ± e^{λ t}uⁿ = 0 в настоящее время получают все более возрастающее значение в ядерной физике в связи с работами Ферми и Томаса.

Цель гл.V и VII заключается не только в том, чтобы сохранить от забвения целый ряд крайне интересных результатов и методов в теории дифференциальных уравнений, но также и в том, чтобы проиллюстрировать тот факт, что нелинейные дифференциальные уравнения вовсе не являются теми "непреклонными существами", которыми они представляются первому испуганному взгляду. Так как современная физика все более и более приводит к необходимости нелинейного объяснения основных явлений, то мы надеемся, что содержание этих глав сможет послужить хоть некоторым слабым утешением в утрате изящного принципа суперпозиции.