Показать ещё...
Предлагаемое вниманию пособие представляет собой элементарное введение в функциональный анализ. Оно предназначено для студентов математических специальностей ВУЗов, которые прошли курс математического анализа, но не имеют достаточного опыта для чтения таких классических учебников по функциональному анализу, как [16, 19, 20]. Дело в том, что в отечественной литературе наблюдается существенный разрыв между уровнем подробности изложения, на котором написаны стандартные учебники по математическому анализу ([14, 17, 22]), и уровнем подробности, который принят в стандартных курсах функционального анализа. Данная книга написана с тем замыслом, чтобы частично заполнить этот разрыв и помочь студентам приобрести необходимую подготовку для изучения более полных руководств по функциональному анализу. Для достижения поставленной цели было решено ограничиться изложением функционального анализа в нормированных пространствах, но при этом существенно повысить как подробность изложения материала, так и количество разбираемых примеров и задач. Всего в пособии разобрано порядка 50 примеров и решено немногим менее 150 задач. Часть из этих задач взята из сборников задач, учебников и учебных пособий, приведенных в списке литературы. Другая часть — придумана автором специально для данного пособия. Как правило, это простые примеры и задачи, которые носят разъяснительный характер, а также примеры и задачи среднего уровня сложности, не требующие слишком долгих раздумий, но при этом способствующие осознанному восприятию материала. Перейдем теперь к содержанию пособия. Первая глава носит вспомогательный характер. В ней собраны предварительные сведения, которые необходимы для понимания оставшейся части книги. В частности, в первой главе даются понятия: множества, операций над множествами, бинарного отношения, отображения, отношения эквивалентности, упорядоченного множества и мощности множеств. Формулируются аксиома выбора и равносильная ей лемма Цорна. В дополнении к главе доказывается известная теорема Кантора–Бернштейна о равномощности двух множеств. Вторая глава посвящена линейным нормированным пространствам. Вводятся такие основные понятия, как: норма, нормированное пространство, открытое и замкнутое множество (топология нормированного пространства), сходимость, полнота пространства, сепарабельность пространства. Доказываются теоремы: критерий полноты нормированного пространства в терминах абсолютно сходящихся рядов, теорема о вложенных шарах и теорема Бэра о категориях. В качестве примеров нормированных пространств рассматриваются пространства: Rn, l2, C([a; b]) и L2 ([a; b]). В третьей главе изучаются непрерывные отображения в нормированных пространствах. Доказываются основные теоремы о непрерывных отображениях. В частности, дается критерий непрерывности отображения в терминах прообразов множеств. Также обсуждаются два типа сходимости отображений: поточечная и равномерная. Даются определения равномерно непрерывного и липшицева отображений. Четвертая глава представляет собой подробное изложение теории, связанной с компактными множествами. При этом компактное множество вводится как такое множество, из всякого открытого покрытия которого можно выделить конечное подпокрытие. Другие критерии компактности множеств даются в виде соответствующей теоремы. Доказываются теорема Кантора о равномерной непрерывности и теорема Вейерштрасса о достижимости непрерывной функцией своего наибольшего и наименьшего значений. Вводятся определения вполне ограниченного и предкомпактного множеств, а также доказывается теорема Хаусдорфа об эквивалентности этих понятий. В дополнении к четвертой главе через последовательность задач (с решениями) обсуждаются утверждения: об эквивалентности норм в конечномерных пространствах, о полноте конечномерных пространств, о компактности единичной сферы и лемма о почти перпендикуляре. Пятая глава посвящена теории ограниченных линейных операторов. Доказываются важнейшие теоремы линейного функционального анализа: теорема об открытом отображении, теорема Банаха об обратном операторе, теорема о замкнутом графике, теорема Банаха–Штейнгауза и принцип равномерной ограниченности. Заключительная шестая глава посвящена ограниченным линейным функционалам. В этой главе, в частности, доказываются две фундаментальные теоремы — теорема Хана–Банаха и ее комплексный вариант — теорема Сухомлинова. Автор полагает, что книга окажет незаменимую помощь при самостоятельном изучении предмета ввиду высочайшей подробности изложения и огромного количества разобранных примеров и задач. Автор считает, что при достаточном упорстве и мотивации данная книга может оказаться доступной студентам экономических и технических направлений, желающим познакомиться с основными положениями функционального анализа. Национальный исследовательский университет Борзых Д. А. «Высшая школа экономики» 09.10.2015
Борзых Дмитрий Александрович Кандидат физико-математических наук. Доцент департамента прикладной экономики факультета экономических наук Национального исследовательского университета «Высшая школа экономики» (НИУ ВШЭ). Научный сотрудник международной лаборатории стохастического анализа и его приложений НИУ ВШЭ. Научные интересы лежат в области теории вероятностей, случайных процессов и финансовой математики.
|
2024. 288 с. Мягкая обложка. 15.9 EUR Новинка недели!
Особенности 20-го выпуска: - исправили предыдущие ошибки - Добавлены разновидности в раздел разновидностей юбилейных монет СССР - В раздел 50 копеек 2006-2015 добавлены немагнитные 50 копеек 10 копеек 2005 М (ввел доп. разворот) - Добавлена информация о 1 рубле 2010 СПМД немагнитный... (Подробнее) 2024. 720 с. Твердый переплет. 19.9 EUR
Книга «Зияющие высоты» – первый, главный, социологический роман, созданный интеллектуальной легендой нашего времени – Александром Александровичем Зиновьевым (1922-2006), единственным российским лауреатом Премии Алексиса де Токвиля, членом многочисленных международных академий, автором десятков логических... (Подробнее) 2022. 1656 с. Твердый переплет. 169.9 EUR
Впервые в свет выходит весь комплекс черновиков романа М. А. Булгакова «Мастер и Маргарита», хранящихся в научно-исследовательском отделе рукописей Российской государственной библиотеки. Текст черновиков передаётся методом динамической транскрипции и сопровождается подробным текстологическим... (Подробнее) 2023. 274 с. Мягкая обложка. 14.9 EUR
Арабо-израильский конфликт, в частности палестино-израильский, на протяжении многих десятилетий определял политическую ситуацию на Ближнем Востоке. На современном этапе наблюдается падение значимости палестинской проблемы в системе международных приоритетов основных акторов. В монографии... (Подробнее) URSS. 2024. 136 с. Мягкая обложка. В печати
В настоящей книге, написанной выдающимся тренером А.Н.Мишиным, описывается техника фигурного катания, даются практические советы по овладению этим видом спорта. В книге рассматриваются основы техники элементов фигурного катания и то, как эти элементы соединяются в спортивные программы, излагаются... (Подробнее) 2024. 400 с. Твердый переплет. 16.9 EUR
Как реализовать проект в срок, уложиться в бюджет и не наступить на все грабли? Книга Павла Алферова — подробное практическое руководство для всех, кто занимается разработкой и реализацией проектов. Его цель — «переупаковать» проектное управление, сделать метод более применимым к российским... (Подробнее) URSS. 2024. 344 с. Мягкая обложка. 18.9 EUR
Мы очень часто сталкиваемся с чудом самоорганизации. Оно воспринимается как само собой разумеющееся, не требующее внимания, радости и удивления. Из случайно брошенного замечания на семинаре странным образом возникает новая задача. Размышления над ней вовлекают коллег, появляются новые идеи, надежды,... (Подробнее) URSS. 2023. 272 с. Мягкая обложка. 15.9 EUR
Настоящая книга посвящена рассмотрению базовых понятий и техник психологического консультирования. В ней детально представлены структура процесса консультирования, описаны основные его этапы, содержание деятельности психолога и приемы, которые могут быть использованы на каждом из них. В книге... (Подробнее) URSS. 2024. 704 с. Твердый переплет. 26.9 EUR
В новой книге профессора В.Н.Лексина подведены итоги многолетних исследований одной из фундаментальных проблем бытия — дихотомии естественной неминуемости и широчайшего присутствия смерти в пространстве жизни и инстинктивного неприятия всего связанного со смертью в обыденном сознании. Впервые... (Подробнее) URSS. 2024. 576 с. Мягкая обложка. 23.9 EUR
Эта книга — самоучитель по военной стратегии. Прочитав её, вы получите представление о принципах военной стратегии и сможете применять их на практике — в стратегических компьютерных играх и реальном мире. Книга состоит из пяти частей. Первая вводит читателя в мир игр: что в играх... (Подробнее) |